ГОТОВИМСЯ К ОЛИМПИАДЕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Е      И Г Р Ы

 

 

Сюжеты математических  игр разнообразны. Вообще говоря, большинство математических идей можно оформить в виде игры. На олимпиадах  встречаются игры  как с алгебраическим так и с геометрическим содержанием. В этот  раздел,  помимо  прочих задач, включены и занимательные задачки ( игры - шутки ). Эти задачи можно использовать и на  первых занятиях  для выявления логических и математических способностей учеников, и в дальнейшем в качестве развлекательных  "вставок". Игры - шутки позволяют снять напряжение и усталость, дают возможность ученикам  отдохнуть.

 


 

Задача 1. Двое  по  очереди берут из кучи камни.  Разрешается брать любую степень двойки (1, 2, 4...). Взявший последний камень выигрывает. Кто победит в этой игре?

Задача 2. В куче 1997 камней, которые двое берут по очереди. Разрешается взять 1, 10 или 11 камней. Выигрывает взявший последний камень. Кто должен победить?

Задача 3. Изменим условие предыдущей задачи: взявший последний камень проигрывает. Кто теперь победит?

Задача 4. Двое  по  очереди  берут камни из двух куч.  За один ход  можно взять:  а) любое число камней из одной кучи или б) из обеих куч поровну. Взявший последним выигрывает. Кто должен выиграть?

 

 

 

Задача 5. В трёх кучах лежат 1997, 1998 и 1999 камней. Играют двое. За один ход разрешается убрать две кучи, а третью разделить на три новые (непустые) кучи. Выигрывает тот,  кто не может сделать ход.  Кто победит-первый или второй игрок?

     Задача 6. Двое  играющих  по очереди красят полоску из 150 клеток: первый всегда красит две клетки подряд, а второй - три. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто должен  выиграть при правильной игре?

     Задача 7. Двое играют на полосе из 12 клеток. При каждом ходе можно поставить на любое поле шашку или сдвинуть на одну клетку  вправо выставленную ранее шашку. Игрок выигрывает, когда занимает шашкой последнее свободное поле полосы. Кто победит? (Понятно,  что на каждой клетке  может  размещаться  только одна шашка.)

     Задача 8. Двое играют,  поочередно выставляя крестики и нолики  на квадратном поле  9х9.  В  конце  каждый получает очко за

 

каждую строку и столбец,  в  которых  его  знаков  больше. Сможет ли первый игрок выиграть?

     Задача 9. Из 1997 первый играющий вычитает 1, 7 или 9. Второй вычитает из результата число,  которое записывается одной  из нулевых цифр результата,  и т.  д.  Побеждает тот, у кого получится 0. У кого?

 

  Задача 10. Поставлено 10 точек в ряд. Двое играющих поочередно заменяют точки  цифрами. Второй игрок стремится к тому,  чтобы полученное число делилось на 41. Удастся ли ему этого  добиться?

     Задача 11. Перед числами 1, 2, ..., 100 двое играющих по  очереди ставят знаки плюс или минус. Когда все знаки расставлены, вычисляется сумма. Первый стремится минимизировать ее модуль, второй - сделать его как можно больше.  Какой результат можно считать ничейным? Каковы границы модуля суммы?  

      Задача 12. Выписаны в ряд числа от 1 до 1997.Играют двое. За один ход можно вычеркнуть любое

 

число и все его  делители. Выигрывает тот, кто зачеркивает

 

последнее число. Докажите, что это первый игрок.


 

 

Решения  и ответы.


 

1. Если исходное число камней делится на  3,  то  выигрывает второй, беря каждый раз по 1 или 2 камня и оставляя число камней, которое делится на 3

2. Первый. Начнём с конца. Выигрывающие остатки камней:  0, 2, 4, 6, 8; 20, 22, 24, 26, 28; ...; 1980, 1982, 1984, 1986, 1988 . Первым ходом первый игрок берёт 11 камней.

3. Победит снова первый. Выигрывающие остатки камней: 1, 3,  5,  7,  9;  21, 23, 25, 27, 29; ...; 1981, 1983, 1985, 1987, 1989. Первый сначала берёт 10 камней.

4. Сначала  рассмотрим  пример  игры.  Пусть первоначальное  значение камней в кучах - 1000 и  18.  Будем  записывать остаток камней в каждой куче после каждого хода: (11, 18), (5, 12), (5, 3), (1, 3), (1, 2), (1, 1), (0, 0). Набор (1, 2), который обеспечил первому игроку победу, назовём выигрывающим. Разность между числами равна d=2-1=1. Найдём предыдущую  выигрывающую  комбинацию:  взяв разность d=2, видим,  что первым числом должно быть такое,  какое еще не встречалось в выигрывающих комбинациях (т.е. 3), а второе-сумма первого и d  (т.е. 5). По этому же принципу получим и следующие выигрывающие комбинации: d =  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ...; a = 1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 16, 17,…; b = 2, 5, 7, 10, 13, 15, 18, 20, 23, 26, 28 ...

     Ответ:   Если начальная расстановка не является выигрывающей комбинацией, то первый игрок ставит выигрывающий набор и  побеждает. Если  начальная расстановка - выигрывающая комбинация, то побеждает второй.

5.Выигрывает первый. Стратегия выигрыша проста: надо добиваться, чтобы некоторых новых кучах число камней оканчивалось цифрами  3  или  4,  а в остальных новых кучах - не превышало 4.  Например, кучу из 1999 камней можно разделить на такие три:  563, 663, 773 или 2, 3, 1994 и т. д. Легко видеть, что противник не может воспользоваться той  же стратегией.  Через несколько ходов первый игрок предложит 3 кучи: в одной 3или 4 камня, в двух других - не более, чем по 4.  Второй игрок может сделать ход, а следующий ход уже невозможен.

6.Первый.  В какой-то момент (можно на первом ходу) он оставляет незакрашенный просвет в две клетки и не трогает его, пока есть не менее трёх незакрашенных клеток подряд.

7.Второй, Он постоянно следит, чтобы каждая группа свободных полей (между шашками и от шашек до границ) была четной.

 8. Да.  Он занимает центральное поле и далее отвечает центрально - симметрично ходам второго игрока. В результате он  выиграет центральную строку и столбец, а остальные распределятся поровну. Счет 10:8.

9. У  первого.  Он вычтет 7.  И далее всегда будет вычитать последнюю цифру. Тогда второй будет иметь последовательно  числа1990, 1980, ..., 10, 0.

10. Да. Разобьем 10 разрядов на две группы по 5.Когда первый пишет некоторую цифру, второй пишет ее дополнение до 9 в тот же разряд другой половины.  В результате  получится  число: 105С + 99999 – С = 10 5 (С+1) - (С+1) = 99999 (С+1), но 99999              делится на 41.

11. Когда первый игрок ставит знак перед числом 100 или 99, второй ставит тот же знак перед вторым из этих чисел. Допустим, это   плюсы.   Чтобы   уменьшить   эту   сумму (199), первый игрок должен ставить минусы перед числами 98, 96, ..., 2. Второй игрок поставит плюсы перед числами 97, 95, ..., 1.     Ответ:   150; [0; 5050].

12. Для  доказательства  можно  не  предъявлять  выигрывающую  стратегию. Пусть на числах от 2 до 1997 у начинающего есть выигрыш, тогда задача решена (1 вычеркнется вместе с любым первым числом). Если же на этих числах начинающий  проигрывает, то первым ходом вычеркнем 1 и передадим ход второму игроку.


 

 

Ч И С Л О В Ы Е      З А Д А Ч И

        Числовые задачи часто  представляют  собой  головоломки. Полезно перед решением такой задачи не спешить, а дать возможность ученикам  немного поиграть в них.


 

    

  Задача 1. В выражении 4 + 32 : 8 + 4 * 3  расставьте скобки так, чтобы в результате получилось:

              а) число 28

              б) как можно большее число

              в) как можно меньшее число.

      Задача 2. Расшифруйте запись:

 

А

+

АБ

+

АБВ

 

 

      Задача 3. В десятичной  БВБ

 записи  двух  натуральных  чисел  участвуют  только цифры 1, 4, 6 и 7. Может ли одно из них быть в 17 раз больше другого?

     Задача 4. Произведение четырех последовательных чисел равно 7920. Найти эти числа.

 Задача 5. Установите, какой цифрой оканчивается разность 

     4343  -  1717.

Задача 6. В записи

 * * * 5 :  11 = * * замените  звездочки  цифрами так, чтобы получилось верное равенство.

      Задача 7. Замените в выражении  * ( *( * ( * + 1) + 1) + 1) = 1995 звездочки числами 2, 5, 11, и 17 так, чтобы получилось верное равенство.

     Задача 8. Натуральные числа от 1 начинают выписывать подряд. Какая цифра стоит на 1992-м месте?

  

   Задача 9. Из книги выпала какая-то часть. Первая страница выпавшего куска имеет номер 387, а номер последней страницы состоит из тех же цифр, но записанных в другом порядке. Сколько листов выпало из книги?

     Задача 10. Найдите десять натуральных чисел,  сумма  и  произведение которых равны 20.

         Задача 11. Восстановите запись:  

 

х   *2*3

 

        **

+

***87

 

*****

 

2*004*

 

     Задача 12. Расшифруйте запись:                     

                                                                 

В

 

АААА

 

+АААА

 

АААА

 

ВАААА

                                                                    

      Задача13. Найдите сумму: 1 + 2 + 3 + ...+ 111.

       Задача 14. Восстановите пример:  6*5* - *8*4 = 2856.

Задача 15. Задумали число, к нему прибавлена 1,сумма умножена на 2,            произведение  разделено на 3 и от

 

результата отнято 4.Получилось 6. Какое число задумано?

Задача 16. Восстановите запись:    

                       *

            +       * *

                                                 

                  --------

                   1 9 7

     Задача17. Расставьте скобки  всеми возможными способами и выберите              наибольший и наименьший результаты:   60 + 40 : 4 - 2.

         Задача 18. Сумма двух чисел равна 80, а их разность равна 3. Найдите эти числа.

      Задача 19. Заменив букву А  на цифру, звездочки - на арифметические действия (не обязательно одинаковые),  расставьте скобки  так, чтобы равенство ААА*А*А = 1998 было верным.

 Задача 20. Какой цифрой оканчивается произведение всех нечетных чисел от 1 до 51?

 Задача 21. Как, используя цифру 5 пять раз,  представить все  числа от 0 до 10 включительно?

Задача 22. Расшифруйте пример, если одинаковые цифры замены одинаковыми буквами:

   О Д И Н

+ О Д И Н

--------------

М Н О Г О

      

 

 

 

 

Задача 23. Расшифруйте пример:           П О Д А Й

                                                                         -   В О Д Ы

                                                                            ------------

                                                                            П А Ш А

       

      Задача 24. Найдите такую сумму  1 + 2 + 3 +...+ 181 - 96 - 97 -...- 1.

   

  Задача 25. В записи 8 8 8 8 8 8 8 8  поставить знаки сложения, чтобы

 

  Задача 26. Из чисел 21, 19, 30, 35, 3, 12, 9, 15, 6, 27 выберите такие три числа, сумма которых 50.

   

  Задача 27. Расшифруйте ребус:      КНИГА + КНИГА + КНИГА = НАУКА.

  Задача28. Над имеющимся  числом  разрешается производить два действия: умножать его  на 2

или прибавлять к нему 2. За какое минимальное число  действий вы сможете получить из числа 1 число 100?

Задача 29. Приведите пример натуральных чисел  m  и  n таких, что сумма цифр числа m равна 1997, сумма цифр числа n равна 1996, а сумма цифр числа  m + n  равна  1995.

 

 

 

Задача 30. Сумма четырех последовательных четных  чисел  равна 196.  Найти эти числа.

 

 

Задача 31. Произведение четырех  простых  последовательных  чисел оканчивается нулем. Что это за числа? Найдите их произведение.

 

Задача 32. Сумма двух чисел равна 213. Одно из них меньше другого на   37. Найдите эти числа.

 

Задача 33. Сумма цифр двузначного числа равна 12. Если цифру десятков             умножить на 2, а цифру единиц на 3 и сложить оба произведения, то в результате получится 29. Найдите это число.

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

З А Д А Ч И     Н А     П Р О Ц Е Н Т Ы

 

 

 


 

    Задача 1. Товар стоил тысячу рублей. Продавец поднял цену на 10%, а через месяц снизил её на 10%.Сколько стал стоить товар?

       Задача 2. Собрали 100 кг грибов. Оказалось, что их влажность 99%. Когда грибы подсушили, влажность снизилась до 98%. Какой стала масса этих грибов после подсушивания?

      Задача 3. Цена входного билета на стадион была 1 рубль 80 копеек. После снижения входной платы число зрителей увеличилось на 50% , а выручка выросла на 25% .Сколько стал стоить  билет после снижения?

     Задача 4. По дороге идут два туриста. Первый из них делает  шаги  на 10% короче и в то же время на 10% чаще, чем второй. Кто из туристов идет быстрее и почему?

     Задача 5. Цену за товар уменьшили на 10%, а затем еще на 10%. Стоит ли он дешевле, если цену сразу снизить на 20%?

     Задача 6.  На овощную базу привезли 10 тонн крыжовника, влажность которого 99% .За время хранения на базе  влажность  уменьшилась на 1%. Сколько тонн крыжовника теперь хранится на базе?

      Задача 7. Числитель дроби увеличили на 20%. На сколько процентов надо          уменьшить её знаменатель, чтобы в итоге дробь возросла вдвое?

     Задача 8. Матроскин продает молоко через магазин и хочет получать за   него 500 рублей за литр. Магазин удерживает 20% стоимости проданного товара. По какой цене будет продаваться молоко в магазине?

      Задача 9. Рабочий в феврале увеличил производство труда по сравнению с январем на 5%, а в марте увеличил её снова по сравнению с предыдущим месяцем на 10%. Сколько деталей изготовил рабочий в марте, если в январе изготовил 200 деталей?

      Задача 10. Один покупатель купил 25% имевшегося куска полотна, второй покупатель 30%  остатка, а третий - 40%  нового остатка. Сколько (в процентах) полотна осталось непроданным?

      Задача 11. Свежие грибы содержат 90%  влаги, сушеные 12%.Сколько сушеных грибов получится из 10 кг свежих?

      Задача 12. Солдат, стреляя в цель, поразил  ее  в  25/2%  случаев. Сколько раз он должен выстрелить, чтобы поразить цель сто раз?

       Задача 13. Сколько белых грибов надо собрать для получения 1 кг сушеных, если при переработке свежих грибов остается 50% их массы,  а  при сушке остается 10%  массы обработанных  грибов?

     Задача 14. Бригада косарей в первый день скосила половину луга и еще 2 га,  а во второй день 25% оставшейся части и последние 6 га. Найти площадь луга.

    Задача 15. Как изменится в процентах площадь  прямоугольника,  если его длина увеличится на 30%, а ширина уменьшится на 30%?

   Задача 16. В драматическом кружке число мальчиков составляет   80%  от числа девочек. Сколько процентов составляет число девочек в этом кружке от числа мальчиков?

  Задача 17. Перерабатывая цветочный нектар в мед, пчелы освобождают его от значительной части воды. Нектар содержит 70% воды, а мед 16%. Сколько килограммов нектара надо переработать для получения 1 кг меда?

  Задача 18. Имеется 735 г 16%-ного раствора йода в спирте. Нужно получить 10%- ный раствор йода. Сколько граммов спирта надо  долить для этого к уже имеющемуся раствору?

       Задача 19. В бассейн проведена труба. Вследствие засорения её приток воды уменьшился на 60%. На сколько  процентов  вследствие этого увеличится время, необходимое для заполнения бассейна

  Задача 20. Ширину прямоугольника  увеличили  на  3,6  см,  а  длину уменьшили на 16%. В результате площадь нового прямоугольника оказалась больше прежнего на 5%.Найти ширину нового прямоугольника

  Задача 21. Каждую сторону квадрата увеличили на 20%. На сколько процентов увеличилась площадь квадрата?

Задача 22. На сколько процентов увеличится объем куба,  если каждое его ребро увеличить на 10%?

    Задача 23. 5 литров сливок с содержанием жира 35% смешали с 4 литрами 20%-ных сливок и к смеси добавили 1 литр чистой  воды. Какой  жирности получилась смесь?

 Задача 24. В свежих грибах было 90%  воды.  Когда их подсушили,  то они стали легче на 15 кг при влажности 60%. Сколько  было свежих грибов?

 Задача 25. Под кукурузу отвели участок поля в форме прямоугольника. Через некоторое время первоначальную длину участка увеличили на 35%,а ширину уменьшили на 14%, На сколько процентов изменилась площадь участка?

 Задача 26. Куб с ребром 8 см покрасили со всех сторон, а затем распилили на кубики с ребром 1 см. Какой процент среди них составляют кубики, имеющие только одну окрашенную грань?

 Задача 27. Одно из слагаемых составило 5/12 другого. Сколько процентов от суммы составляет меньшее слагаемое? (ответ дать с точностью до 0,1%)

 Задача 28. Вычитаемое составляет 7/13 уменьшаемого. Сколько процентов              вычитаемого составляет разность?

 

 

 

  Задача 29. Заработок рабочего повысился на 20%,  а цены на продукты и другие товары снизились на  15%. На сколько процентов рабочий теперь  на  свой  заработок  может купить больше продуктов и товара, чем прежде ?


 

Решения и ответы.


 

1. После подорожания  товар стоил 1100 рублей.  При снижении цены 1100 руб. – 100% , 110 рублей – 10% стоимости товара, следовательно, товар стал стоить 1100 - 110 =990 рублей.

     Ответ:  990 рублей.

2. В 100 кг грибов содержится, по условию, 99 кг воды и 1 кг сухого вещества. После подсушивания сухое вещество стало составлять 2% .Но если 2%  составляют 1 кг, то вся масса  грибов равна 50 кг.

3. Входная плата с каждых двух зрителей до снижения была 3рубля 60 копеек. После снижения вместо каждых двух зрителей стадион посещали три человека, платившие по 3руб.60 коп  + 90 коп.= 4 руб.50 коп. Стоимость билета  4 рубля 50 копеек : 3 = 1 рубль 50 копеек.

         Ответ:  1 руб.50 коп.

 4.  Покажем, что медленнее идет тот из туристов, кто делает шаги короче и чаще (первый). Когда второй турист делает 10 своих шагов длины s каждый, первый турист делает 11 своих шагов длины  0,9s  каждый. Таким образом, первый турист проходит расстояние 9,9s за то время, за которое второй  проходит расстояние 10s, но 10s > 9,9s, так как s > 0.

5. Введем переменную x, обозначив  через  нее  первоначальную цену, и составим выражение для новой цены в случае поэтапного  снижения: 0,9*(0,9*x) = 0,81*x  и в случае снижения сразу на 20% - 0,8*x

 6. Без влаги масса ягод стала равна 2% , т.е. общая масса уменьшилась в два раза и стала 5 тонн.     Ответ:  5 тонн.

7. Для начала рассмотрим какой-нибудь пример, скажем, дробь   00/100 = 1. После увеличения в числителе будет 120, поэтому  в знаменателе после уменьшения должно остаться 60%.Другими  словами, надо уменьшить знаменатель на 40 %. Проверим ответ для общего случая: пусть есть дробь a/b. После увеличения числителя на 20%  он станет равным 1,2а. Если уменьшить знаменатель на 40% ,  то он  станет  равным  0,6b.Тогда дробь  станет  равной 1,2а / 0,6b = 2*a / b, что и  требуется.     Ответ:  на 40%.

8. получим 625 рублей.

9. 231 деталь

10.   31,5 % осталось непроданным.

 11. Ответ:   25/22 кг.

12.    800 раз.

13. 20 кг.

14. 6 га составляют 75%  (3/4) оставшейся части, значит, вся оставшаяся часть равна 8 га. По условию половина луга больше 8 га на 2 га, т. е. равна 10 га ( 8 + 2 = 10). Значит, весь луг занимал 20 га ( 10*2 = 20).      Ответ:   20 га.

15.    Площадь уменьшится  на 9%.

16. Пусть девочек х, тогда мальчиков 0,8х. Число девочек составляет  от числа мальчиков (х / 0,8)*100% = 125%.

17. Ответ: 2,8 кг.

18. 441 г.

19. 1) 100%  - 60%  = 40% = 0,4 - такую часть составляет оставшийся приток воды.            2) 1 : 0,4 = 2,5 (раза) - во столько раз увеличится время, необходимое для наполнения бассейна,  т.е. увеличится на 150%.

     Ответ:   на 150% .

20.   18 см.

21.  Увеличилась на 44%.

22. Увеличится на 33,1%.

23.

1) 5*0,35 = 1,75 (л) жира в 5 л сливок.  2) 4*0,2 = 0,8 (л) жира в 4 л сливок.              3)1,75 + 0,8 = =2,55 (л) жира в смеси. 4) 5 + 4 + 1 = 10 (л) - вес смеси. 5)2,55 : 10 = 25,5%- жирность смеси.

     Ответ:   25,5%.

24. Ответ:   20 кг.

25. Изменится на  16,1%.

26. 42,1875 или 42,2%.

27.

Пусть второе слагаемое 1, тогда первое слагаемое 5 / 12, а  сумма 17 / 12. 5 / 12 от   17 / 12 составляют 5 / 17 =  0,294 = 29,4%.

     Ответ:   Меньшее слагаемое составляет 29,4% от суммы.

28.

Пусть уменьшаемое  1, тогда вычитаемое 7 / 13, а  разность  6 / 13 (1 - 7/13  == 6 / 13).  6/13 от 7/13 составляет 6 / 7 = 85,7%.

29.

На 41% больше, чем прежде.


 

 

Л О Г И Ч Е C К И Е     З А Д А Ч И

 

 


 

      Задача 1. Можно ли, имея два сосуда емкостью 3 л и 5 л, набрать из водопроводного крана 4 л воды?

   Задача 2. В месяце три воскресенья выпали на четные числа. Какой день недели был седьмого числа этого месяца?

   Задача 3. У Винни - Пуха и Пятачка несколько воздушных шариков, среди    которых есть большие и маленькие, а также синие и зеленые. Докажите, что друзья могут взять по одному шару так, чтобы они  одновременно  оказались разного размера и разного     цвета.

     Задача 4. На улице, встав в кружок, беседуют четыре девочки: Аня, Валя, Галя и Надя. Девочка в зеленом платье (не Аня и не Валя) стоит между девочкой в голубом платье и Надей. Девочка в белом платье стоит между девочкой  в  розовом платье и Валей. Платье какого цвета носит каждая девочка?

   Задача 5. Разместите в свободных клетках квадрата числа 3, 4, 5, 6, 8, 9 так, чтобы  по  любой вертикали,  горизонтали и диагонали  получилось в сумме одно и то же число.

Дано:

 

 

 

 

Решение

10

 

 

 

 

 

 

10

3

8

 

7

 

 

 

 

 

5

7

9

 

11

 

 

 

 

 

6

11

4

 

     Задача 6. На складе имеются гвозди  в ящиках по  24, 23, 17  и 16 кг. Можно ли отправить со склада 100 кг гвоздей,  не распечатывая ящики?

      Задача 7. Пять рыбаков съели пять судаков за пять дней.  За сколько дней десять рыбаков съедят десять судаков?

       Задача 8. Все животные  старухи  Шапокляк, кроме двух, - попугаи, все, кроме двух,  - кошки,  и все, кроме двух, - собаки, а остальные тараканы. Сколько тараканов у Шапокляк?

    Задача 9. У Щенят и утят 42 ноги и 12 голов. Сколько щенят и сколько утят?

   Задача 10. Папа с  двумя  сыновьями  отправился  в поход. На пути им              встретилась река; у берега плот. Он  выдерживает  на  воде только папу  или  двух  сыновей. Как  им переправиться на другой берег?

   Задача 11. Среди 77 одинаковых колец одно несколько легче остальных. Найдите его не более чем четырьмя взвешиваниями  на  чашечных весах.

   Задача 12. У меня нет карманных часов, а только настенные, которые  остановились. Я пошел к своему приятелю, часы которого идут верно, пробыл у него некоторое время и, придя домой,  поставил свои  часы  верно. Как  мне это удалось сделать, если я предварительно не знал,  сколько времени занимает  дорога?

    Задача 13. Известно, что 60 листов книги имеют толщину 1 сантиметр.  Какова толщина всей книги, если в ней 240 страниц?

     Задача 14. Из трех  монет одна фальшивая, она легче остальных. За сколько взвешиваний на чашечных весах без гирь можно определить, какая именно монета фальшивая?

    Задача 15. В мешке 24 килограмма гвоздей. Как,  имея чашечные весы без гирь, отмерить 9 килограммов гвоздей?

    Задача 16. Падая по лестнице с пятого этажа,  Алиса  насчитала  100 ступенек. Сколько  ступенек  она насчитала бы,  падая со второго этажа?  (Падение героини сказки Л. Кэррола “Алиса  в стране чудес” обычно оканчивается благополучно...)

     Задача 17. Костя разложил на столе 5 камешков на расстоянии 3  сантиметра один  от  другого.  Какое  расстояние первого до  последнего?

     Задача 18. Ученица хотела купить в магазине 9 тетрадей, несколько блокнотов, по 6 копеек каждый, и три карандаша. Продавец  выписал ей чек на 58 копеек.  Взглянув на  чек,  ученица  сразу же сказала продавцу,  что он ошибся. Продавец удивился, как могла ученица    так  быстро  обнаружить  ошибку. Пересчитав  снова,  продавец действительно нашел  ошибку. Как могла ученица, только взглянув на чек, заметить ошибку?

Задача 19. Как, имея пятилитровую  банку  и  девятилитровое  ведро, набрать из реки ровно три литра воды?

 Задача 20. Три курицы снесли за три дня три яйца. Сколько яиц снесут              двенадцать кур за двенадцать кур за двенадцать дней?

Задача 21. В магазин  привезли  141 литр масла в бидонах по 10 и по   13 литров. Сколько было всего бидонов?

Задача 22. Когда отцу было 27 лет,  сыну было 3 года. Сейчас сыну в три раза меньше лет, чем отцу. Сколько лет каждому из них?

 Задача 23. Как из восьмилитрового ведра,  наполненного молоком, отлить 1 литр с помощью трехлитровой банки и пятилитрового  бидона?

Задача 24. Пять лет назад брату и сестре вместе было 8 лет. Сколько  лет им будет вместе через 5 лет?

Задача 25. В ящике  100 черных и 100 белых шаров. Какое наименьшее число шаров надо вытащить,  не заглядывая в ящик,  чтобы  среди них наверняка было 2 шара одного цвета?

Задача 26. В одном  доме живут 13 учеников одной и той же школы.  В этой школе 12 классов. Докажите, что хотя бы два ученика,  живущие в этом доме, учатся в одном и том же классе.

Задача 27. Два школьника,  живущие в одном доме, одновременно вышли  из дома  в школу.  Первый из них половину всего времени,  затраченного на дорогу,  шел со скоростью 5 километров в час, а затем шел со скоростью 4 километра в час. Второй же первую половину всего пути от дома до  школы  шел  со  скоростью 4  километров  в час,  а вторую - со скоростью 5 километров в час. Который из школьников пришел в школу  раньше?


 

 

Решения и ответы.

1.Последовательность действий см. в таблице:

3 л

0

3

0

2

2

3

0

5 л

5

2

2

0

5

4

4

 

2. Через семь  дней  повторяется  каждый день недели. Поэтому первые 28 дней содержат четыре понедельника, четыре вторника и т.д. и четыре воскресенья. Причем, два воскресенья  падают на четные числа,  а два - на нечетные. Значит, третье воскресенье падает на 30 число. Таким образом, 2-го числа также было воскресенье, а 7-го числа - пятница.

 

3. Можно рассуждать так. Пусть Винни - Пух возьмет какой-нибудь             большой шарик, а Пятачок - маленький. Если эти шарики оказались разных цветов,  то задача решена. Пусть шарики оказались одного цвета, например, синего. Тогда по условию  задачи среди оставшихся шариков есть зеленый. Если это большой зеленый шарик, то пусть его возьмет Винни - Пух вместо своего, а если - маленький, то пусть его возьмет Пятачок.  После этого шарики у них будут разного цвета и размера.

 

 

 

 

 

4.Составим таблицу.

   

Аня

Валя

Галя

Надя

Зеленое  платье

-

-

+

-

Голубое  платье

-

+

-

-

Белое    платье

 

-

-

-

Розовое  платье

 

-

-

 

 

     Ответ:  Галя в зеленом платье, Валя в голубом, Аня в белом, Надя в розовом.

6.Например, так: четыре ящика по 17 кг и два ящика по 16 кг.

7.Пять рыбаков съели пять судаков за пять дней. Другие  пять  рыбаков съедят за те же пять дней еще пять судаков. Следовательно, десять рыбаков съедят десять судаков за пять дней.

8.Либо два таракана, либо одна кошка, одна собака и один попугай.

9.  9 щенят 3 утенка.

10. Первыми переплавляются два сына, сын возвращается обратно, затем переплавляется отец,  второй  сын  возвращается  за  первым.

11.Разделите все кольца на три части 26, 36, и 25.

12.Нужно завести остановившиеся часы, уйти к  приятелю,  а,  вернувшись, подсчитать время, затраченное на дорогу.

13.Страниц 240, на каждом листе 2 страницы, следовательно, всего листов 120: их толщина в два раза больше, чем 60.     Ответ:   2 сантиметра.

14.Требуется одно взвешивание: положим по одной монете на каждую чашку весов. Возможны два случая: 1) весы находятся в равновесии, тогда третья монета фальшивая; 2) равновесия нет,  в  этом  случае  фальшивая  монета там, где вес меньше.

15. Основная доступная операция - деление некоторого (вообще говоря, произвольного) количества гвоздей на две равные по весу кучи.  Результаты взвешиваний будем записывать  в   таблицу:

                Вначале имеем 24 кг

                                         1 куча           2 куча             3 куча             4 куча

               1-й шаг               12 кг             12 кг

               2-й шаг               12 кг               6 кг                6 кг

               3-й шаг               12 кг               6 кг                3 кг                  3 кг

               4-й шаг                 6 кг + 3 кг.

16.Алиса, находясь на пятом этаже, одновременно находилась на “крыше”  четвертого этажа, а находясь на втором этаже - на “крыше” первого. Таким образом, падать с пятого этажа в  четыре  раза "выше", чем со второго. Следовательно, Алиса насчитала 25 ступеней.

  17.       Из пяти камешков 2 лежат по краям, 3 - между ними, значит, между камешками четыре промежутка,  каждый по 3 сантиметра. Таким образом, расстояние от первого камешка до  последнего равно 12 сантиметрам

18.Стоимость всей покупки должна делиться на 3, покупалось 9 тетрадей, 3 карандаша, а каждый блокнот стоил 6 копеек.  Но 58 не делится на 3.

 19. Ход решения задачи виден из таблицы:

  Вместимость сосуда   

шаг 0                 шаг 1               шаг 2               шаг 3          шаг 4                            5 л                     0                         0                       5                          0                         4                               9 л                                0                             9                          4                            4                           0

 

                        шаг 5                шаг 6                шаг 7               шаг 8

5 л                          4                       5                        0                      5

9 л                          9                       8                        8                      3

 

20.Три курицы снесли за 3 дня  3  яйца,  следовательно,  3  крицы снесут за 12 дней в 4 раза больше яиц, а 12 кур за 12 дней еще в 4 раза больше, т.е. 48 яиц. Решение задачи  удобно записать в виде таблицы:

         Количество кур                      Количество дней             Количество яиц

                      3                                                3                                        3

                      3                                              12                                   3х4=12

                    12                                              12                                 12х4=48

 

21.Пусть в тринадцатилитровых бидонах а литров молока, а в  десятилитровых  b  литров.  (Числа  а и b - натуральные). Тогда число b делится на 10, т. е. оканчивается цифрой 0, и, следовательно,  число а оканчивается цифрой 1, а значит, число тринадцатилитровых бидонов оканчивается цифрой 7; но 13 х 17 = 221 > 141, так как 13 х 7=  = 91 < 141. Таким образом, было 7 тринадцатилитровых и 5 десятилитровых бидонов  (так  как 141 – 91 = 50).

22.Разница в возрасте между отцом и сыном неизменна и равна 24 годам.  Сыну в три раза меньше лет, чем отцу, поэтому 24 года - это удвоенный возраст сына. Следовательно, сыну  сейчас 12 лет, а отцу 36 лет.

 

 

 

23. Ход решения задачи виден из таблицы:

                                                                       Ведро                 Бидон                Банка

                Первоначальное количество          8 л                        0                        0

                1-й шаг                                             5 л                        0                      3 л

                2-й шаг                                             5 л                      3 л                       0

                3-й шаг                                             2 л                      3 л                     3 л

                4-й шаг                                             2 л                      5 л                     1 л

 24.За десять лет к возрасту каждого прибавится по 10 лет, а  к сумме их возрастов - 20 лет, еще через 5 лет вместе им  будет 28 лет.

25.Из трех шаров обязательно найдутся два одинакового цвета  (так как всего два цвета).  Следовательно, достаточно трех шаров. Двух  шаров недостаточно,  так как они могут оказаться разного цвета.

     Ответ:   3 шара.

26.Если бы в каждом классе учились по  одному  ученику,  то  учеников было  бы 12.  На самом же деле их 13.  Пришли к  противоречию.

27.Первый.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т Е К С Т О В Ы Е      З А Д А Ч И

     


 

Задача 1. Станок разрезает 300 шестиметровых досок на  куски  по  2 метра в каждом за 1 час. Сколько времени потребуется, чтобы на этом же станке разрезать 200 восьмиметровых досок  такой же ширины  и  толщины на куски по 2 метра в каждом?

 Задача 2. Школа - интернат купила 675 метров красной, синей и черной ткани для пошива пальто. Когда израсходовали половину красной, две третьих синей, три четвёртых чёрной ткани, то  осталось каждого  цвета  ткани  поровну. Сколько метров ткани каждого цвета было куплено?

Задача 3. Поезд проходит мост длиной 450 метров за 45 секунд, а мимо  светофора за  15  секунд. Найдите  длину поезда и его скорость.

Задача 4. Из двух пунктов, расстояние между которыми 100 км, выехали             одновременно навстречу  друг  к  другу  два всадника. Скорость первого всадника 15 км/ч,  второго - 10 км/ч. Вместе с первым всадником выбежала собака, скорость которой 20 км/ч. Встретив второго всадника, она повернула назад и побежала к первому, добежав до него, снова повернула и так бегала  до тех пор, пока всадники не встретились. Сколько километров пробежала собака?

Задача 5. Что быстрее: проехать весь путь на велосипеде или половину пути проехать на мотоцикле, а вторую половину пройти пешком, если  скорость  мотоцикла в два раза больше скорости велосипеда, а скорость велосипеда в свою очередь,  в два  раза больше скорости пешехода?

Задача 6. В пятиугольнике четыре стороны имеют одинаковую длину, а пятая отличается на 2,5 см. Какую длину имеет каждая  сторона пятиугольника, если его периметр 8 см?

Задача 7. На школьной викторине было предложено 20 вопросов, За каждый правильный ответ участнику начисляли 12 очков, а за каждый неправильный списывали 10 очков. Сколько правильных  ответов дал  один  из участников,  если он отвечал на все  вопросы и набрал 86 очков?

Задача 8. На прокорм 6 лошадей и 40 коров ежедневно отпускают 472 кг сена, а на прокорм 12 лошадей и 37 коров- 514 кг сена. Сколько сена потребуется при такой же ежедневной норме на прокорм 30  лошадей  и  90 коров с 15 октября по 25 марта  включительно (год невисокосный)?

Задача 9. Сколько всего прабабушек и прадедушек было у всех ваших              прабабушек и прадедушек?

Задача 10. Бабушка, сколько  лет  твоему  внуку?”  - “Моему  внуку  столько  месяцев, сколько мне лет, а вместе нам 65 лет”. Cколько  лет внуку ?

    Задача 11. Два приятеля, живущие один в пункте А, а другой в пункте В, совершили в один и тот же день прогулку. Первый вышел в 10ч 36мин из пункта А и пришел в 16 ч 21мин в пункт В. Второй вышел  в  10 ч 30 мин из пункта В и пришел а 15 ч  06 мин в пункт А. В какое время они встретились?

  Задача 12. Поезд должен был пройти 720 км за 14ч 24 мин. Пройдя 0,75 этого пути,  он задержался из-за ремонта на 16 мин. С какой скоростью поезд должен продолжить путь, чтобы прийти к месту назначения в срок?

Задача 13. Расстояние между  пристанями  на  реке  43,2 км. Моторная лодка, идя по течению реки, затрачивает на этот путь 2 ч 24 мин. Сколько времени затрачивает эта лодка на этот же путь, идя против течения, если скорость течения 1,8 км/ч?

Задача 14. Лодка, идя по течению реки, затрачивает на путь от пристани А до пристани В 32ч, а на обратный путь 48ч. За какое время проплывает плот от пристани А до пристани В?

Задача 15. Пароход прошел расстояние между двумя пристанями, двигаясь по течению реки,  за 4,5 ч. На обратный путь пароход затратил 6,3 ч. Скорость течения реки составляет 40 м в минуту. Найти расстояние между пристанями.

Задача 16. Из двух железнодорожных поездов один затрачивает на прохождение пути между двумя городами 2 ч 48 мин, другой 4 ч 40 мин. Скорость первого поезда больше скорости второго на  26 км/ч. Определить расстояние между двумя городами.

Задача 17. Сумма двух чисел 495, одно из чисел оканчивается нулем. Если этот нуль зачеркнуть, то получится второе число. Найти числа.

Задача 18. На 19,8  руб.  купили  9  кг  яблок,  8  кг  груш и 5 кг  слив. Цена яблок в 3/2 раза меньше цены груш, а 3 кг яблок  стоят столько же,  сколько 4 кг слив. Найти цену 1 кг яблок, груш и слив.

Задача 19. Сумма числителя  и знаменателя дроби равна 4140. После её сокращения получилось 7 / 13.  Какой была дробь до её сокращения?

Задача 20. Разность двух чисел равна 89 / 2.Если меньшее из них  увеличить в 7 раз, то  разность будет 143 / 14.Найти эти числа.

Задача 21. Среднее арифметическое двух чисел равно 10,01.Найти каждое из них, если одно из них в 5,5 раза меньше другого.

Задача 22. За две  книги уплатили 1 руб.35 коп. Сколько стоит каждая книга, если 0,35 цены первой книги равны 0,28 цены второй  книги?

Задача 23. Если к числу учеников класса прибавить столько же, и еще половину первоначального  количества учеников,  то получится 100. Сколько учеников в классе?

Задача 24. Чашка и блюдце вместе стоят 2500  руб. а  4 чашки и 3 блюдца стоят 8870 руб. Найдите цену чашки и блюдца.

Задача 25. На одной чаше весов лежит кусок мыла, а на другой 3 / 4 такого же куска и еще 3 / 4 кг. Сколько весит весь кусок?

Задача 26. Известно, что 4 персика,  2 груши и яблоко вместе  весят 550 г, а персик, 3 груши и 4 яблока вместе весят 450 г. Сколько весят персик, груша и яблоко вместе?

Задача 27. Имея полный бак топлива, катер может проплыть 36км против течения и 60км по  течению. На  какое  наибольшее расстояние он может отплыть при условии,  что топлива должно хватить и на обратный путь?

Задача 28. У Андрея  и  Бори  вместе 11 орехов,  у Андрея и Вовы 12  орехов, у Бори и Вовы 13 орехов. Сколько всего орехов у Андрея, Бори и Вовы вместе?

Задача 29. Кошка весит 0,5 кг и еще 0,8 всего  своего  веса. Сколько  весит кошка?

Задача 30. Яша идет  от  дома до школы 30 мин,  а брат его Петя - 40 мин. Петя вышел из дома на 5 мин раньше Яши. Через сколько  минут Яша догонит Петю?

 

 


 

Решения и ответы.

1.Для того, чтобы разрезать 300 шестиметровых досок на куски по 2  метра  каждый,  требуется сделать 600 распилов (два распила на доску). Для того чтобы разрезать  200  восьмиметровых досок, также требуется 600 распилов.

     Ответ:  Один час.

2.

За x обозначим количество красной ткани. 1 / 3 синей ткани равна  x / 2,то  есть  3x / 2 купили  синей ткани, 4x / 2 = 2x купили чёрной ткани, следовательно,   x + 3x / 2 + 2x =

 = 675.

     Ответ: Купили 150 метров красной,225 метров синей,300 метров чёрной ткани.

3.

За 45 секунд поезд проходит расстояние, равное длине моста и длине поезда вместе, а за 15 с расстояние, равное длине поезда (сделайте рисунок). Следовательно, длину моста (450 м) он проходит   за   30   с,   т.е.   его   скорость   равна     450:30=15(м/с). Теперь можно найти длину поезда, ведь именно свою длину поезд "протягивает" мимо светофора за 15 с со  скоростью 15 м/с, его длина равна 15*15=225(м).

     Ответ: 225(м).

 

4.

Каждый час всадники сближались на 25 км, следовательно, они встретились через 4 часа. Собака за это время пробежала 80 км  (так как её скорость 20 км/ч).

     Ответ:  80 км.

5.

 Мотоциклист половину и велосипедист четверть пути проезжают  за одно и то же время. Велосипедист половину пути и пешеход четверть пути также преодолевают за одно и то же время. Следовательно, три четверти пути будут пройдены в первом и втором случаях за одинаковое время. Остаётся преодолеть ещё одну четверть пути, которую на велосипеде можно проехать  быстрее.

     Ответ:  На велосипеде быстрее.

6.

 Т. .к.  неизвестно, корче или длиннее остальных пятая сторона, то надо рассматривать два случая.

     Ответ:  Четыре стороны по 1,1 см и пятая 3,6 см.

7.

x-количество верных ответов, следовательно, получаем 2x - 10(20 - x) = 86,  отсюда   х = 13.

     Ответ: Правильных ответов было 13.

8.

На прокорм 12 лошадей и 80 коров ежедневно отпускается  472*2=994 кг сена,  80 – 37 = 43 коровы съедают в день 944 – 514 = 430 кг сена. Промежуток с 15 октября по 25 марта содержит 162 дня.

     Ответ:   204120 кг сена.

9.

Решение:

                   26 = 64.

10.

Из условия видно, что бабушка в 12 раз старше внука. Стало быть, сумма их возрастов в 13 раз больше возраста внука. Поэтому внуку 5 лет (65:13).

     Ответ:   Внуку 5 лет.

11.

  Встреча произошла в 13 ч 06 мин

12.

 Со скоростью 54 км/ч.

13.

1) 43,2 : 2,4 = 18 (км/ч) - скорость лодки по течению; 2) 18 - 1,8 * 2 = 14,4 (км/ч) - против течения   3) 43,2 : 14,4 = 3 (ч) -  затратит лодка на этот же путь, идя против течения.

     Ответ:   3 часа.

14.

 1:[(1/32 - 1/48) : 2] = 192 (ч)

     Ответ:   192 часа.

15.

4,5 ч = 270 мин, 6,3 ч = 378 мин.

              {1 : [(1/270 - 1/378) : 2 ]} = 75600 (м) или 75,6 км.

     Ответ:   75,6 км.

16.

26: (1 : 14/5 - 1: 14/3) = 182 (км).

     Ответ:   182 км.

17.

Первое число больше второго в 10 раз, 450 и 45.

     Ответ:  450 и 45.

18.

0,8 руб., 1,2 руб., 0,6 руб.

19.

Искомая дробь 1449 / 2691.

20.  703 / 14 и 40 / 7.

21.Получим3,08. 16,94.

22.

  60 коп. 75коп.

23.

 100 человек составляют два класса и еще половину класса, т. е. 5 раз по  полкласса. Следовательно,  половина класса - это 20 человек. Тогда во всем классе 40 человек.

24.

1) 4 чашки и 4 блюдца стоят 10000 руб.,  а 4 чашки  и  3   блюдца стоят стоят 8870 руб., следовательно, цена одного блюдца  10000 - 8870 = 1130 (руб.), 2) цена одной чашки    2500 - 1130 = 1370 (руб.).

25.

Одна четвертая часть куска мыла  весит  3 / 4  кг. Следовательно, кусок мыла весит 12 / 4 кг, т.е. 3 кг.

26.

 4 персика, 2 груши и яблоко весят 550 г, персик, 3 груши и 4 яблока - 450 г. Следовательно, 5 персиков, 5 груш, 5 яблок весят 1000 г. Таким образом, персик, груша и яблоко вместе весят 200 г. 

27.

Пусть полный бак содержит 180 кг топлива. Тогда на каждый  километр против течения тратится 5 кг, а по течению - 3 кг топлива. Следовательно, на 1 км по течению и против течения нужно 8 кг топлива. Имеем: 180:8 = 22,5 (км).

28.

"Сложим" все три условия. Получим,  что удвоенная  сумма  орехов 36.

     Ответ:   18 орехов.

29.

 0,5 кг составляет 0,2  веса  кошки. Следовательно,  кошка  весит 2,5 кг

   30.

  Через 15 минут.